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【平成29年・流体力学】国家公務員試験総合職（大卒程度）工学　専門記述試験解答

(1)

(a)

(i)

略。 x=const.の線を引けばよい。流れの方向は上から下。

(ii)

略。 \phi = -Vyだから， y = const.の線を引けばよい。

(b)

(i)

\phi = A(x^ 2-y^ 2)

\psi = 2Axy

(ii)

略。 x-y軸を壁に，反比例のグラフの線を描けば良い。

(c)

(i)

\phi = m\ln r

\psi = m\theta

(ii)

略。

m>0で吐き出し。

0>mで吸い込み。

(d)

(i)

\displaystyle \frac{dW(z)}{dz} = U + \frac{n}{z+a} - \frac{n}{z-a}

これを解くと，

\displaystyle z = \pm \sqrt{\frac{a^ 2U + 2n}{U}}

(ii)

略

(2)

(a)

定常だから， \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = 0なので，

\displaystyle \int u du + \int \frac{1}{\rho} dp= const

\displaystyle \frac{u^ 2}{2} + \int \frac{dp}{\rho} = const

(b)

(a)より，非圧縮では，

\displaystyle \int \frac{dp}{\rho} = \frac{p}{\rho}

(c)

(i)

ds=0で，

\displaystyle C_v \frac{dp}{p} = C_p \frac{d\rho}{\rho}

\displaystyle \frac{dp}{p} = \gamma \frac{d\rho}{\rho}

この微分方程式を解くと，

\displaystyle \frac{p}{\rho^\gamma} = const

(ii)

（左辺） =0とする。

\displaystyle \rho = \left( \frac{p}{C} \right)^\frac{1}{\gamma}とおくと，

\displaystyle \int_{p_0}^ p \frac{dp}{\rho} = \frac{1}{C^ \frac{1}{\gamma}}\int_{p_0}^ p p ^ {-\frac{1}{\gamma}}dp = \frac{1}{C^ \frac{1}{\gamma}} \frac{\gamma}{\gamma-1} \left( p^ {\frac{\gamma -1}{\gamma}} - p_0^ {\frac{\gamma -1}{\gamma}}\right)

\displaystyle = \frac{\gamma}{\gamma-1} \left(\frac{p_0}{\rho_0} \left( \frac{p}{\rho_0}\right)^ {\frac{\gamma -1}{\gamma}} - \frac{p_0}{\rho_0}\right)

よって，示された。

(d)

(i)

\displaystyle a_0^ 2 = \gamma \frac{p_0}{\rho_0}より，

\displaystyle \frac{p_0}{\rho_0} = \left(1 - \frac{\gamma -1}{2}\left( \frac{u}{a_0} \right)^ 2 \right)^ {\frac{\gamma}{\gamma -1}}

(ii)

\displaystyle \left(1 - \frac{\gamma -1}{2}\left( \frac{u}{a_0} \right)^ 2 \right)^ {\frac{\gamma}{\gamma -1}} \approx 1- \frac{\gamma}{2}\left(\frac{u}{a_0}\right)^ 2

\displaystyle \frac{u^ 2}{2} + \frac{p}{p_0}\frac{a_0}{\gamma} = \frac{a_0}{\gamma} = \frac{p_0}{\rho_0}

\displaystyle \frac{u^ 2}{2} + \frac{p}{\rho_0} = \frac{p_0}{\rho_0}