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【備忘録】マクローリン展開は難しくない（ついでにオイラー公式も）

ある函数を多項式で近似することはよく行われています（曖昧）。

この記事では， $x = 0$ 付近の近似値を出すことについてざっくり言って，ついでにオイラー公式を導いてみます。

まずは式の形から

微分可能な函数 $f(x)$ において， $x=0$ 付近の値は，次の式で近似できます。

$\displaystyle f(x) = f(0) + \frac{f^ \prime (0)}{1!}x +\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2!}x^ 2 + \frac{f^{\prime \prime \prime}(0)}{3!}x^ 3 + \cdots = \sum_{n=0}^ \infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^ n \quad (n \in \mathbb{N}$

例えば

この式で， $e^ x$ を近似すると，

$\displaystyle e^ x = \sum_{n=0}^ n \frac{x^ n}{n!}$

となります。

ネイピア数は既知の値 $(e \approx 2.71828183 \cdots )$ ですので， $x = 0$ 付近においての値は電卓で知ることは容易です。 $x = 0.01$ においては， $e^{0.01} \approx 1.0100502 \cdots$ ですが，これは， $x^ 3$ の項まで当てはめると一致するのです。

さて

マクローリン展開の式は便利ですが，形を忘れてしまうことがあるので，そんなときのためのやり方を教えます。

まず， $f(x) = e^ x$ が

$\displaystyle e^ x = a_0 + a_1x + a_2x^ 2 + a_3x^ 3 + \cdots = \sum_{n=0}^ \infty a_nx^ n$

のような多項式で表せるとします。事実として， $f(0) = a_0 = 1$ ですね！

ここで，微分すると， $e^ x$ は無限に微分しても形が変わりませんので，

$e^ x = a_1 + 2a_2x + 3a_3x^ 2 + 4a_4x^ 3 \cdots$

となり， $x =0$ のとき， $a_1 = 1$ です。

また微分すると，

$e^ x = 2\cdot 1a_2 + 3\cdot 2a_3x + 4\cdot 3a_4x^ 2 \cdots$

となり， $x =0$ のとき， $a_2 = 1/2!$ です。

またまた微分すると，

$e^ x = 3\cdot 2\cdot 1a_3 + 4\cdot 3\cdot 2a_4x \cdots$

となり， $x =0$ のとき， $a_3 = 1/3!$ です。どうやら，

$\displaystyle a_n = \frac{1}{n!}$

となりますので，

$\displaystyle e^ x = \sum_{n=0}^ \infty \frac{x^ n}{n!}$

となり，上記の式に一致します。

サインとコサインののマクローリン展開

以上な方法で三角関数のマクローリン展開をします。なお， $\tan x$ は省略します。私はコサインの方が好みですので， $\cos x$ で考えます。

$\cos 0 = a_0 = 1$

$\cos^ \prime 0 = -\sin 0 = a_1 = 0$

$\cos^{\prime \prime} 0 = -\cos 0 = 2\cdot 1a_2 = -1$ ，つまり， $\displaystyle a_2 = -\frac{1}{2!}$

$\cos^{\prime \prime \prime} 0 = \sin 0 = 3\cdot 2a_3 = 0$ ，つまり， $a_3 = 0$

$\cos^{\prime \prime \prime \prime} 0 = \cos 0 = 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1a_4 = 1$ ，つまり， $\displaystyle a_4 = \frac{1}{4!}$

どうやら，

$\displaystyle a_ {2n+1} = 0$

$\displaystyle a_ {2n} = \frac{(-1)^ n}{(2n)!}$

ですので，

$\displaystyle \cos x = \sum_{n=0}^ \infty \frac{(-1)^ n}{(2n)!}x^{2n}$

であります。同様に，

$\displaystyle \sin x = \sum_{n=0}^ \infty \frac{(-1)^ n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$

となります。

オイラー公式

先ほどの $e^ x$ のマクローリン展開されたものに， $x = ix$ を代入しましょう。これを実部と虚部をまとめますと，

$\displaystyle \Re e^{ix} = \sum_{n=0}^ \infty \frac{(-1)^ n}{(2n)!}x^ {2n}$

$\displaystyle \Im e^{ix} = \sum_{n=0}^ \infty \frac{(-1)^ n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$

したがって，

$e^{ix} = \cos x + i\sin x$

と書けます。この式は，物理学，複素解析やレーダ工学などにおいて重要な役割を持ちます。