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【和訳】微分方程式のPower Series Solutionによる解き方

前回の記事

tafio.hatenablog.com

前回の記事は伏線です。

二階微分方程式の解法の1つに"Power Series Solution"があります。日本語の記事がヒットしないので，この記事が世界初の日本語記事ですね，たぶん。

さて，次の方程式を解いてください。

Solve

$y^{\prime \prime} -xy +y =0$

Solution

たとえば， $y = u(x)x$ と置いて解くのもありですが*1，ここでは微分方程式の解 $y(x)$ が，

$\displaystyle y = \sum_{n=0}^ \infty a_nx^ n$

と多項式で表せるとしましょう。このとき，一階微分は，

$\displaystyle y^ \prime = \sum_{n=1}^ \infty na_nx^{n-1}$

ですので，

$\displaystyle -xy^ \prime = -\sum_{n=1}^ \infty na_nx^{n}$

です。

二階微分は，

$\displaystyle y^{\prime \prime}= \sum_{n=2}^ \infty (n-1)na_nx^{n-2}$

です。ここで，総和( $\sum$ )の初項は加減できるので，ここでは $\displaystyle \sum_{n=1}^ \infty$ で括りましょう。

$y$ に関しては，

$\displaystyle y = a_0 + \sum_{n=1}^ \infty a_nx^ n$

$y^{\prime \prime}$ に関しては， $n-2=n$ とすると*2，

$\displaystyle y^{\prime \prime} = 2a\_{2} + \sum_{n=1}^ \infty (n+1)(n+2)a \_{n+2}x^{n}$

となりますので，解くべき微分方程式を整理すると，

$\displaystyle 2a\_2 + a\_0 + \sum_{n=1}^ \infty \\{(n+1)(n+2)a\_{n+2} - (n-1)a_n \\} = 0$

です。*3

この式の必要十分条件は，

$2a_2 + a_0 = 0 \quad$ かつ $\displaystyle \quad (n+1)(n+2)a\_{n+2} -(n-1)a_n = 0$

つまり，

$2a_2 + a_0 = 0 \quad$ かつ $\displaystyle \quad a\_{n+2} = \frac{n-1}{(n+1)(n+2)} = 0$

です。

(i) $n=0$ のとき，

$\displaystyle a_2=-\frac{a_0}{2!}$

(ii) $n=1$ のとき，

$a_3 = 0$

(iii) $n=2$ のとき，

$\displaystyle a_4=-\frac{a_0}{4!}$

(iv) $n=3$ のとき，

$a_5 = 0$

どうやら，

$\displaystyle a\_{2n+1} = 0, a\_{2n} = -\frac{2n-1}{(2n)!}$

であります*4。したがって，一般解は，

$\displaystyle y = a_1x - a_0 \sum_{n=1}^ \infty \frac{2n-1}{(2n)!}x^{2n}$

です。

*1:ちなみにこれで解くと誤差関数 $\mathrm{erf}$ が出てきます。悪くないね。

*2:ここの表記で違和感を感じなかった人，数値計算屋だな！

*3:こういう書き方をしているのは，はてなブログで $\sum$ を並べるとうまくタイプセットされないからです。

*4:数学的帰納法で示せます。