お久しぶりです．精神的にやられてますがいかがお過ごしでしょうか．

さて，QANDAって知ってますか？家庭教師のアプリです．問題を解くとお金をもらえます．コスパはまぁまぁいいと思います．

とはいえ，中学生の数学の質問が多く，あまり質問者の質が高くないのも現状ですが，たまに良問が載せられてます．

大学受験レベルの問題を中学生が質問してて私立中高一貫すげーってなってます（ちなみに，私は地方公立出身です）．

ということで，今回はQANDAにあった面白い問題を解いていきます．

チュートリアル

良問ってなんだよって思うので，大体こんな感じってつかんでください．

$k = 1, 2, 3, \cdots , n \quad (n \in \mathbb{N})$ に対して， $\triangle{ AOB_k }$ を $\angle AOB_k = \dfrac{k}{2n}\pi, OA = 1, OB_k=k$ であるような三角形とし，その面積を $S_k$ とする．このとき， $\displaystyle \lim_{n \to \infty}$ $\dfrac{1}{n^ 2}$ $\displaystyle \sum_{n=1}^{n} S_k$ の値は？　（青山学院大）

$S_k = \dfrac{k}{2} \sin \left( \dfrac{k}{2n}\pi \right)$

$\dfrac{1}{n^ 2}$ $\displaystyle \sum_{n=1}^{n} S_k$ $= \dfrac{1}{\pi}$ $\displaystyle \left( \frac{1}{n} \sum_{k=1}^ n \left( \frac{k}{2n}\pi \right)\sin \left( \frac{k}{2n}\pi \right) \right)$

$f(x) = \left( \dfrac{\pi}{2}x\right) \sin \left(\dfrac{\pi}{2}x \right)$ とすると，区分求積法より，

$\displaystyle \frac{1}{\pi} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left( \frac{k}{n} \right) = \frac{1}{\pi} \int_0^ 1 f(x) dx = \frac{2}{\pi^ 2}$

積分はそんなむずくないです．

こういうの

$y= x^ 2$ と $A_0(0, 0)$ を通り，傾き1の直線との交点を $A_1(1, 1)$ とする．次に， $y = x^ 2$ と $A_1(1, 1)$ を通り，傾き-1の直線との交点を $A_2$ とする．この線分 $A_1A_2$ の $y$ 切片を $B_1$ とするとき， $B_n$ は？

$A_1(1,1), A_2(-2,4), A_3(3,9), A_4(-4, 16), \cdots$ より， $A_n((-1)^ {n-1}n, n^ 2) \quad (n = 0, 1, 2 \cdots)$

$proof)$

$n = 0$ はこれを満たす．
$n = k \quad (k \in \mathbb{N})$ で， $A_{k}$ を満たすと仮定すると， $A_{k + 1}$ は， $x^ 2 = (-1)^ {n} ( x - (-1)^ {n-1} n ) + n^ 2$ の解である．解と係数の関係より， $A_{k+1}((-1)^ {n-1}(n+1), (n+1)^ 2)$