2021-01-12

【和訳】微分方程式のPower Series Solutionによる解き方

前回の記事

tafio.hatenablog.com

前回の記事は伏線です。

二階微分方程式の解法の1つに"Power Series Solution"があります。日本語の記事がヒットしないので，この記事が世界初の日本語記事ですね，たぶん。

さて，次の方程式を解いてください。

Solve

$y^{\prime \prime} -xy +y =0$

Solution

たとえば， $y = u(x)x$ と置いて解くのもありですが*1，ここでは微分方程式の解 $y(x)$ が，

$\displaystyle y = \sum_{n=0}^ \infty a_nx^ n$

と多項式で表せるとしましょう。このとき，一階微分は，

$\displaystyle y^ \prime = \sum_{n=1}^ \infty na_nx^{n-1}$

ですので，

$\displaystyle -xy^ \prime = -\sum_{n=1}^ \infty na_nx^{n}$

です。

二階微分は，

$\displaystyle y^{\prime \prime}= \sum_{n=2}^ \infty (n-1)na_nx^{n-2}$

です。ここで，総和( $\sum$ )の初項は加減できるので，ここでは $\displaystyle \sum_{n=1}^ \infty$ で括りましょう。

$y$ に関しては，

$\displaystyle y = a_0 + \sum_{n=1}^ \infty a_nx^ n$

$y^{\prime \prime}$ に関しては， $n-2=n$ とすると*2，

$\displaystyle y^{\prime \prime} = 2a\_{2} + \sum_{n=1}^ \infty (n+1)(n+2)a \_{n+2}x^{n}$

となりますので，解くべき微分方程式を整理すると，

$\displaystyle 2a\_2 + a\_0 + \sum_{n=1}^ \infty \\{(n+1)(n+2)a\_{n+2} - (n-1)a_n \\} = 0$

です。*3

この式の必要十分条件は，

$2a_2 + a_0 = 0 \quad$ かつ $\displaystyle \quad (n+1)(n+2)a\_{n+2} -(n-1)a_n = 0$

つまり，

$2a_2 + a_0 = 0 \quad$ かつ $\displaystyle \quad a\_{n+2} = \frac{n-1}{(n+1)(n+2)} = 0$

です。

(i) $n=0$ のとき，

$\displaystyle a_2=-\frac{a_0}{2!}$

(ii) $n=1$ のとき，

$a_3 = 0$

(iii) $n=2$ のとき，

$\displaystyle a_4=-\frac{a_0}{4!}$

(iv) $n=3$ のとき，

$a_5 = 0$

どうやら，

$\displaystyle a\_{2n+1} = 0, a\_{2n} = -\frac{2n-1}{(2n)!}$

であります*4。したがって，一般解は，

$\displaystyle y = a_1x - a_0 \sum_{n=1}^ \infty \frac{2n-1}{(2n)!}x^{2n}$

です。

*1:ちなみにこれで解くと誤差関数 $\mathrm{erf}$ が出てきます。悪くないね。

*2:ここの表記で違和感を感じなかった人，数値計算屋だな！

*3:こういう書き方をしているのは，はてなブログで $\sum$ を並べるとうまくタイプセットされないからです。

*4:数学的帰納法で示せます。

2021-01-11

【備忘録】マクローリン展開は難しくない（ついでにオイラー公式も）

ある函数を多項式で近似することはよく行われています（曖昧）。

この記事では， $x = 0$ 付近の近似値を出すことについてざっくり言って，ついでにオイラー公式を導いてみます。

まずは式の形から

微分可能な函数 $f(x)$ において， $x=0$ 付近の値は，次の式で近似できます。

$\displaystyle f(x) = f(0) + \frac{f^ \prime (0)}{1!}x +\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2!}x^ 2 + \frac{f^{\prime \prime \prime}(0)}{3!}x^ 3 + \cdots = \sum_{n=0}^ \infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^ n \quad (n \in \mathbb{N}$

例えば

この式で， $e^ x$ を近似すると，

$\displaystyle e^ x = \sum_{n=0}^ n \frac{x^ n}{n!}$

となります。

ネイピア数は既知の値 $(e \approx 2.71828183 \cdots )$ ですので， $x = 0$ 付近においての値は電卓で知ることは容易です。 $x = 0.01$ においては， $e^{0.01} \approx 1.0100502 \cdots$ ですが，これは， $x^ 3$ の項まで当てはめると一致するのです。

さて

マクローリン展開の式は便利ですが，形を忘れてしまうことがあるので，そんなときのためのやり方を教えます。

まず， $f(x) = e^ x$ が

$\displaystyle e^ x = a_0 + a_1x + a_2x^ 2 + a_3x^ 3 + \cdots = \sum_{n=0}^ \infty a_nx^ n$

のような多項式で表せるとします。事実として， $f(0) = a_0 = 1$ ですね！

ここで，微分すると， $e^ x$ は無限に微分しても形が変わりませんので，

$e^ x = a_1 + 2a_2x + 3a_3x^ 2 + 4a_4x^ 3 \cdots$

となり， $x =0$ のとき， $a_1 = 1$ です。

また微分すると，

$e^ x = 2\cdot 1a_2 + 3\cdot 2a_3x + 4\cdot 3a_4x^ 2 \cdots$

となり， $x =0$ のとき， $a_2 = 1/2!$ です。

またまた微分すると，

$e^ x = 3\cdot 2\cdot 1a_3 + 4\cdot 3\cdot 2a_4x \cdots$

となり， $x =0$ のとき， $a_3 = 1/3!$ です。どうやら，

$\displaystyle a_n = \frac{1}{n!}$

となりますので，

$\displaystyle e^ x = \sum_{n=0}^ \infty \frac{x^ n}{n!}$

となり，上記の式に一致します。

サインとコサインののマクローリン展開

以上な方法で三角関数のマクローリン展開をします。なお， $\tan x$ は省略します。私はコサインの方が好みですので， $\cos x$ で考えます。

$\cos 0 = a_0 = 1$

$\cos^ \prime 0 = -\sin 0 = a_1 = 0$

$\cos^{\prime \prime} 0 = -\cos 0 = 2\cdot 1a_2 = -1$ ，つまり， $\displaystyle a_2 = -\frac{1}{2!}$

$\cos^{\prime \prime \prime} 0 = \sin 0 = 3\cdot 2a_3 = 0$ ，つまり， $a_3 = 0$

$\cos^{\prime \prime \prime \prime} 0 = \cos 0 = 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1a_4 = 1$ ，つまり， $\displaystyle a_4 = \frac{1}{4!}$

どうやら，

$\displaystyle a_ {2n+1} = 0$

$\displaystyle a_ {2n} = \frac{(-1)^ n}{(2n)!}$

ですので，

$\displaystyle \cos x = \sum_{n=0}^ \infty \frac{(-1)^ n}{(2n)!}x^{2n}$

であります。同様に，

$\displaystyle \sin x = \sum_{n=0}^ \infty \frac{(-1)^ n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$

となります。

オイラー公式

先ほどの $e^ x$ のマクローリン展開されたものに， $x = ix$ を代入しましょう。これを実部と虚部をまとめますと，

$\displaystyle \Re e^{ix} = \sum_{n=0}^ \infty \frac{(-1)^ n}{(2n)!}x^ {2n}$

$\displaystyle \Im e^{ix} = \sum_{n=0}^ \infty \frac{(-1)^ n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$

したがって，

$e^{ix} = \cos x + i\sin x$

と書けます。この式は，物理学，複素解析やレーダ工学などにおいて重要な役割を持ちます。

2020-08-25

【リンク】国家公務員試験総合職（大卒程度）工学区分受験記と対策

いつも応援ありがとうございます。合格しました。以下のリンクからご覧ください。

一次

tafio.hatenablog.com

二次（政策論文）

tafio.hatenablog.com

二次（人物試験）

tafio.hatenablog.com

2020-08-03

【面接】国家試験総合職（大卒程度）の人物試験を受けてきたので書く，あと対策も

こんにちは，梅雨が開け始めて本格的に夏が来ましたね！

国家公務員試験総合職の受験された皆様はお疲れ様でした。また，試験を運営してくださった人事院の皆様に感謝申し上げます。

この記事では当日の流れと対策方法を書きます。

なお，昨年度につきましても，えだちん様が詳細な情報を書いており，私自身も大変役に立ちましたので，合わせてご覧ください。

edatin.hatenablog.com

持ち物とか

メールで書かれたものをもってきます。

面接カードは当日の朝に桜通口のファミマでコピーしました。

前もってコピーしましょうね！やめようね（戒め）！

実際のところ，書類不携行でもなんとかなりますが，あまり良い印象は持たれないですね。

あと時計を忘れずに！

試験開始まで

人物試験は名古屋城の側の「桜華会館」ってところでした。

私は12:15受付だったので，「住よし」できしめん *1を食べました。出汁のいい匂いには惹かれましたが，緊張しすぎて食べてる気がしませんでしたね。

途中ファミマによりつつタクシーで向かいました。20分くらいで1300円くらいでした。

私は12:15受付開始で，11:45に到着して誰もいないかなと思ってたら，3分の1くらい来ててびっくりしました。後にわかったんですが，まだ面接してたんですね。

高校同期が時間間違えて来*2たのを観測して，落ち着けました。

さて，12:15から書類の提出や注意事項，意向書なんかの説明を受けて20分ほどかかったと思われます。

面接では出身高校・大学をばらさないようにしてほしいと言われました。

これは面接で困ることとなります。

待ち時間

試験室に行くタイミングは，部屋によってまちまちでした。前の人が控え室に戻ったらすぐさま次の人にバトンタッチする部屋や，前の人と間隔を1分開けていくと違いました。

私の場合，なぜか前の人から15分後に試験官から呼び出しがかかると言われました。楽でしたね。

携帯やタブレットを使うと不正行為なので文庫本を持参しました。

「ご冗談でしょう、ファインマンさん　＜上＞」を読んでました。

本に引き込まれてしまい，面接どころじゃなかったです。続きが気になってしかたなかったです。

ご冗談でしょう、ファインマンさん〈上〉 (岩波現代文庫)

作者:ファインマン,リチャード P.,ファインマン,リチャード P.
発売日: 2000/01/14
メディア: 文庫

飲食やトイレや部屋の退出は自由ですが，会場周辺にはこれといった施設がなくて*3，周りの人は暇そうでした。

時局柄私語厳禁でしたし，居眠りは印象が悪いですしね。

面接カード

面接カードは8月11日の14:00までこちらで閲覧可能みたいですね。私の書いた面接カードをざっくり晒します！

[これまでに取り組んだ活動や体験]

達成感を感じたり，力をいれてきたりした経験について，どのような状況で（いつ頃，どこで，誰と等），どのようなことをしたのか

ありがちですね。

①学業や職務において

「授業のプレゼンで，きちんと考察できたし，人に仕事を割り振って準備した。その結果，先生に褒められた。」

②社会的活動や学生生活において

特殊なのでボカして書きますが「イベント会社でのバイトを通じて，お客様と主催の双方のニーズをみたすことができ，儲かった時は嬉しかった。」

③日常生活その他（資格，特技，趣味，社会事情などで関心のあること等）において

「プレゼンが得意だから，同期や後輩に教えていた。プレゼンが改善し，良い評価をもらったと聞いた時達成感があった。」

[志望動機]

これまでの体験や自分の長所などを踏まえ，国家公務員としてどのような貢献ができるのか具体的に記入してください。

「学校やバイトで問題の本質を突き止めることの大切さを体感してきた。それは政策を的外れなものを作らないことで貢献できる。」

このように面接カードは，政策論文を「きちんと」やった人間なら簡単だと思います。問題文も長いしね。

しかし，欄がとにかく狭いので推敲に推敲を重ねてください。また下に紹介する本には本当にお世話になりました。

公務員試験現職人事が書いた「面接試験・官庁訪問」の本 2021年度

作者:大賀英徳
発売日: 2020/04/03
メディア: 単行本（ソフトカバー）

本番

面接官は40代女性・40代男性・おじいちゃんの3人でした。

質問の基本的な姿勢は「面接カードにはこう書いてありますが？それはなぜですか？どういうことですか？」が多かったですね*4。

質問はかなり深堀されますし，圧迫面接っぽかったです。面接カードには重複する質問が多く，嘘付くか迷いましたが，相当ストーリーを練らないとボロが出るのでやめましょう。また，面接カードはコピーを2部取って提出するように求められますが，1部多めにもって本番前に確かめておきましょう。

ここからは鍵括弧で囲っているのを面接官，「だ・である」調の発言を私として，答えられる範囲で書きます。

以下，シナリオ

まずは，女性から。

「授業で北海道についての政策を選んだのはなぜですか？」

「先生に与えられたテーマだった。言いにくいが，北海道にある大学に通っているため。」

今考えると大学は北海道っていうのは蛇足ですね。

「発表の内容を教えてください。」

「略。」

正直この辺は聞き流してくれておkです。

「あなたはこの発表のために何をしたのですか？」

「全体のまとめ役。議論の進行役。メンバーに細かく仕事を割り振り，当事者意識を持たせて，全員で発表できた。」

「意見が対立した時にどのように対処しましたか？」

「意見の対立は，メンバー一人一人が一つのことにspecialiseしてるから，予期していた。そこで，双方の意見を整理し，全体の利益となるように落とし所を模索した。」

そのように落とし所をつける経験は後に役立ちましたか？

「役立った。教授と先輩でもめることがあったときに。」（原文ママ）

ここ掘り下げとけばなーと思いました。こんなんじゃ話になんないよ（棒読み）。

「プレゼンが得意なのは自己評価と他己評価どちらですか？」

「両方である。大学の授業や自分で効果的なプレゼンの勉強をいっぱいした。その結果，他者からの評価も高くなるのだろう。」

個人的には，女性の方が本当に聡明な方だと思いました。質問の仕方が上手でお話ししてて気持ちよかったです。

続いて男性（実際はおじいちゃんの後です）

「他人にプレゼンの指導していく中で，自分の意見と発表者の意見が異なることはありましたか？」

「ある。それは2つのパターンがある。1つ目は，そのテーマについて相手が知らないか，もしくは，自分が知らないから食い違うこと。もう一つは本当に食い違ってしまうことである。」

「後者に対してどう対処しましたか？」

「あくまでプレゼンの助言や改善が目的で，相手には主張したいことを無視して私の意見を押し付けるのは間違っている。だから，相手の意見を尊重（採用って言ったかな）しつつ，こういう意見もあるよ，ちょっと頭の片隅に置いといてねって感じで伝えておいた。」

「今まで何人くらいにプレゼンの指導をしましたか？」

「トータルで5人くらい（大嘘）」

「後輩に教えた時に苦労したことはなんですか？」

「1学年分違うと自分には当たり前の概念が後輩だと共有されてないこと。それを教えるのに苦労した。」

「具体的には？」

「ある発表で統計学手法で考察しようとなったときに，自分では当たり前だと思ってた統計学的な考察で話してもさっぱりわかってくれなかった。」

「それはどういう風に教えて，理解してもらえたですか？」

「勘違いされているが，まず，統計学はブラックボックスじゃないこと。大量のデータから結論を導いてくれるものではないのが，統計学の基本であり，1番大事である。例えば全部のデータを集めても，日本人男性の平均身長はわからないし，あくまで近似して推測しているにすぎないからだ。よって，統計的手法は近似的に求めているのと，あるデータ間に差があるかどうかをみてるだけ。」

もう一言「だから，相関とか何が影響してるのはちゃんと考えなきゃいけない」とか言えばよかったです。

男性は極々真っ当な人でしたね。

Holy f*ck

さて，問題はおじいちゃんです。

マスクとビニールのシールドで聞き取りづらいのもありましたが，とにかく質問の意味がわからなかったです。意識が遠のいていくのを感じたので，何言ったか思い出せないし，思い出したくないです。

しかも，自分が1番アピールしたかった部分だったゆえに，頓珍漢な質問が飛んできてますます混乱しました。

おそらく質問する順番や部分は面接官の中で決定しており，それに従ったのにすぎないのでしょうが，本当はもっと若い人に聞いて欲しかったです。自分が面接官だったら他の面接官の質問から聞きたいこといっぱいありますが，試験時間が長くなるからしないんでしょうね。

とはいえ，落ちた理由が面接だとしたら，このおじいちゃんのせいです。責任転嫁はよくないですね。

〆

最後に女性の方から，公務員試験らしい質問で締め括りですね。

「あなたは周囲の人間からからどう見られますか」

「思慮深い，常に思考を巡らせているとみられる。」

「考えの異なる人間と関わることは多いですか。また関わる際に，何を感じますか？」

「多い。そもそも，人は環境や育ち，体験や勉強してきた情報でみんなが違うのは当然だ。だから，自分が相手に知らないことを教えたり，自分が教えられたりしていい刺激になって日々を送っている。」

これがTwitterなんて言えないぜ（小声）

面接オワタ\(^0^)/

厳しい雰囲気で面接が終了しました。最後にドアを閉めるのに手こずったらめっちゃ笑われたので，私としては勝ちですね。

ここまで書いてて思ったのは，激しい追求に答えることができるのは自分の能力なのかどうか不安になってきました。

面接が終わって控室に戻るとTOEICの成績証明証の原本が返却されて，人物試験は終了です。

感想は一言「悔しい」です。1番自分が主張したかったところに的外れな指摘が来たのは，自分の面接カードの書き方が悪かったのかなぁとか思ってしまいます。

帰りは隣にあった愛知縣護国神社にお参りし，市役所前駅まで450 mというの看板に絶望し，歩けなかったのでさくっとタクりました。帰りの運転手さんがお話し好きな方で，コロナで変化してしまったタクシー業界の裏事情を語ってくれて，流しのタクシーは今後無くなるって言ってたのが「わかるー！」ってなりました。

これにて試験は全て終了！

受かってるか知らんですが，今年度は2度の延期もあり非常に長い戦いでした。しんどかったし，不安で押し潰される日々を過ごしていました。

試験自体は工学部の科目のおさらいになったし，論文の書き方知らなかったけど勉強するいい機会になりました。

2年後を見据えて，ESや官庁訪問が上手くいくように精進せねばと思いました。

しかし，休んでいる暇はないのだ。大学院の入試が待っているのでもう一息です。

帰りの電車で，アル中カラカラしてたら周りの視線が凄かったのと（スーツなの忘れてた），無意識に天むすを食べたら尻尾ごと食べてしまって痛かったのは内緒です。

対策とか

対策はこの本が役立ちました。人事の目線で書いてあるのは貴重です。

公務員試験現職人事が書いた「面接試験・官庁訪問」の本 2021年度

作者:大賀英徳
発売日: 2020/04/03
メディア: 単行本（ソフトカバー）

トーク力に関しては島田紳助さんとスーツさんが勉強になります。

地元企業のガチ採用面接をスーツくんと受けてみた！【面接公開】【地方企業編】

他の記事もみてクレメンス

一次試験はここ

tafio.hatenablog.com

二次の政策論文はここ

tafio.hatenablog.com

*1:肉きしめん640円です。

*2:早く来すぎてた

*3:医学部受けに行った時に面接の時間が1番最後で，散財したのを思い出します。

*4:これ書いてて思ったんですがボイスレコーダー禁止な理由分かった気がします。だって，レビューしたいじゃん。

2020-07-28

【平成30年・流体力学】国家公務員試験総合職（大卒程度）工学　専門記述試験解答

(1)

(a)

(i)

略。 $y = const.$ が流線。流れの方向は正。

(ii)

略。等ポテンシャルは $x=const.$ の直線。流れ関数は流線と一致する。

(b)

(i)

$\displaystyle \frac{W_2 (z)}{dz} = a -\frac{b}{z^ 2}$

(ii)

$\displaystyle \psi = \left( ar - \frac{b}{r}\right) \sin \theta = 0$

これを解くと，

$\displaystyle r = \sqrt{\frac{b}{a}}$

したがって，これが半径で，中心は， $(0,0)$

(iii)

略。半径 $\displaystyle \sqrt{\frac{b}{a}}$ の円柱周りの流れを考えればよい。

(c)

(i)

$\phi = -c\theta$

$\phi = c\ln r$

(ii)

図は略。渦。 $c>0$ で反時計回り。 $0>c$ で時計周り。

(d)

(i)

$\displaystyle \frac{dW(z)}{dz} = 1 - \frac{1}{z^ 2} + i\frac{\sqrt{2}}{z} = 0$

よって，

$\displaystyle z = \frac{\pm1+i}{\sqrt{2}}$

(ii)

工事中

他の年はこちら

tafio.hatenablog.com

2020-07-28

【平成29年・熱力学】国家公務員試験総合職（大卒程度）工学　専門記述試験解答

(1)

(a)

$q_{23}=h_3-h_1$

$q_{41}=h_4-h_1$

(b)

$\displaystyle \eta = \frac{h_3-h_4}{h_3-h_1}$

(c)

$\displaystyle x = \frac{s_4-s_4 ^\prime}{s^{\prime \prime}-s^\prime}=\frac{s_3-s_4^\prime}{s_4^{\prime \prime}-s_4^\prime} = 0.648\cdots \cong 0.65$

(d)

$h_4=h_4^{\prime \prime}x+(1-x)h_4^\prime = 1.6552 \cong 1.7 \ [\mathrm{MJ/kg}$ ]

(e)

$\eta = 0.426 \cdots \cong 0.43$

(2)

(a)

(i)

$\displaystyle ds = \left(\frac{\partial s}{\partial T} \right)_{v} dT + \left(\frac{\partial s}{\partial v} \right)_Tdv$

ここで，

$\displaystyle \left( \frac{\partial s}{\partial T} \right)_{v} = \frac{C_{v}}{T} ,$

$\displaystyle \left(\frac{\partial s}{\partial v} \right)_{T} = \left(\frac{\partial p}{\partial T} \right)_{v} dv$ より，示された。

(ii)

$du = ds\cdot T-pdv$

(i)より，

$\displaystyle du=C_v dT+\left( \left(T\frac{\partial p}{\partial T} \right)_{v} -p \right) dv$

(b)

(i)

理想機体では無視していた気体の分子間力と体積を想定できる。

(ii)

機械的不安定生が起こっている（らしい）。

(iii)

$\displaystyle p = \frac{RT}{v-b}-\frac{a}{v^ 2}$

$\displaystyle \left(\frac{\partial p}{\partial T} \right)_v = \frac{R}{v-b}$

①式において， $dT=0$ だから，

$\displaystyle \int_{s_A}^{s_B}ds = s_B - s_A = \int_{v_A}^{v_B}\frac{R}{v-b}dv = R\ln \frac{v_B-b}{v_A-b}$

(iv)

(iii)と同様に，

$\displaystyle \int_{u_A}^{u_B}du = \int_{u_A}^{u_B} \left( \frac{RT}{v-b}- \left( \frac{RT}{v-b}-\frac{a}{v^ 2} \right) \right) dv = a \left( \frac{1}{v_A} -\frac{1}{v_B} \right)$

(v)

状態 $i$ で， $g_i, u_i$ とする。

$v_i, v_j \in (v_A, v_B)$ において， $g_j- g_i = u_j -u_i +p_jv_j - p_iv_i - T(s_j-s_i)$

等温変化だから， $p_iv_i=p_jv_j$

$v_j$ と $v_i$ の間隔を近づけると， $\Delta g = \Delta u -T\Delta S$ とすると，これは熱力学第一法則が成り立っているのほかならない。

よって，示された。

(vi)

$\displaystyle \int_{v_A}^{v_B}pdv = \int_{v_A}^ {v_B} \left( \frac{RT}{v-b}-\frac{a}{v^ 2} \right) dv = u_B -u_A -T(s_B-s_A) = g_B - g_A = 0$

2020-07-28

【平成29年・流体力学】国家公務員試験総合職（大卒程度）工学　専門記述試験解答

(1)

(a)

(i)

略。 $x=const.$ の線を引けばよい。流れの方向は上から下。

(ii)

略。 $\phi = -Vy$ だから， $y = const.$ の線を引けばよい。

(b)

(i)

$\phi = A(x^ 2-y^ 2)$

$\psi = 2Axy$

(ii)

略。 $x-y$ 軸を壁に，反比例のグラフの線を描けば良い。

(c)

(i)

$\phi = m\ln r$

$\psi = m\theta$

(ii)

略。

$m>0$ で吐き出し。

$0>m$ で吸い込み。

(d)

(i)

$\displaystyle \frac{dW(z)}{dz} = U + \frac{n}{z+a} - \frac{n}{z-a}$

これを解くと，

$\displaystyle z = \pm \sqrt{\frac{a^ 2U + 2n}{U}}$

(ii)

略

(2)

(a)

定常だから， $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = 0$ なので，

$\displaystyle \int u du + \int \frac{1}{\rho} dp= const$

$\displaystyle \frac{u^ 2}{2} + \int \frac{dp}{\rho} = const$

(b)

(a)より，非圧縮では，

$\displaystyle \int \frac{dp}{\rho} = \frac{p}{\rho}$

(c)

(i)

$ds=0$ で，

$\displaystyle C_v \frac{dp}{p} = C_p \frac{d\rho}{\rho}$

$\displaystyle \frac{dp}{p} = \gamma \frac{d\rho}{\rho}$

この微分方程式を解くと，

$\displaystyle \frac{p}{\rho^\gamma} = const$

(ii)

（左辺） $=0$ とする。

$\displaystyle \rho = \left( \frac{p}{C} \right)^\frac{1}{\gamma}$ とおくと，

$\displaystyle \int_{p_0}^ p \frac{dp}{\rho} = \frac{1}{C^ \frac{1}{\gamma}}\int_{p_0}^ p p ^ {-\frac{1}{\gamma}}dp = \frac{1}{C^ \frac{1}{\gamma}} \frac{\gamma}{\gamma-1} \left( p^ {\frac{\gamma -1}{\gamma}} - p_0^ {\frac{\gamma -1}{\gamma}}\right)$

$\displaystyle = \frac{\gamma}{\gamma-1} \left(\frac{p_0}{\rho_0} \left( \frac{p}{\rho_0}\right)^ {\frac{\gamma -1}{\gamma}} - \frac{p_0}{\rho_0}\right)$

よって，示された。

(d)

(i)

$\displaystyle a_0^ 2 = \gamma \frac{p_0}{\rho_0}$ より，

$\displaystyle \frac{p_0}{\rho_0} = \left(1 - \frac{\gamma -1}{2}\left( \frac{u}{a_0} \right)^ 2 \right)^ {\frac{\gamma}{\gamma -1}}$

(ii)

$\displaystyle \left(1 - \frac{\gamma -1}{2}\left( \frac{u}{a_0} \right)^ 2 \right)^ {\frac{\gamma}{\gamma -1}} \approx 1- \frac{\gamma}{2}\left(\frac{u}{a_0}\right)^ 2$

$\displaystyle \frac{u^ 2}{2} + \frac{p}{p_0}\frac{a_0}{\gamma} = \frac{a_0}{\gamma} = \frac{p_0}{\rho_0}$

$\displaystyle \frac{u^ 2}{2} + \frac{p}{\rho_0} = \frac{p_0}{\rho_0}$